Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-

4

3

x+2过点B（1，0）．

（1）求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标；
（2）以AC为边在第二象限画正方形ACPQ，求P、Q两点的坐标；
（3）把（2）中的正方形ACPQ和抛物线沿射线AC一起运动，当运动到点Q与y轴重合时，求运动后的抛物线的顶点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据解析式即可求得C点的坐标，应用待定系数法，求得a，然后令y=0，解方程即可求得A的坐标．
（2）依据三角形全等即可P、Q两点的坐标；
（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求得解析式，求得与y轴的交点Q′(0，

19

3

)，点Q（-5，3）移动到点Q′(0，

19

3

)，向右平移了5个单位长度，向上平移了

10

3

个单位长度，顶点(-1，

8

3

)移动后应是（4，6）．

解答：解：（1）把B（1，0）代入抛物线y=ax²-

4

3

x+2，
得a-

4

3

+2=0，
解得a=-

2

3

．
所以y=-

2

3

x²-

4

3

x+2，
当x=0时，y=2，
所以抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2）．
当y=0时，-

2

3

x²-

4

3

x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-3，
所以抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为（-3，0）；

（2）过P点作PE⊥y轴于E，过点Q作QF⊥x轴于F．
∵四边形ACPQ是正方形，
∴AC=CP=AQ，∠QAC=∠ACP=90°，
∴∠ACO+∠PCE=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠PCE，
在△AOC与△PCE中，

∠OAC=∠PCE ∠AOC=∠PEC AC=CP

，
∴△AOC≌△PCE（AAS），
∴PE=OC=2，CE=AO=3，
∴OE=OC+CE=5，
∴点P的坐标为（-2，5）．
同理△AOC≌△QFA，
∴QF=AO=3，AF=OC=2，
∴OF=AF+OA=5，
∴点Q的坐标为（-5，3）；

（3）设直线PQ的解析式为y=kx+b
把P（-2，5），Q（-5，3）代入y=kx+b得

-2k+b=5 -5k+b=3

解，
得

k= 2 3 b= 19 3

．
∴y=

2

3

x+

19

3

，
∴当x=0时，y=

19

3

∴直线PQ与y轴的交点Q′(0，

19

3

)，
∴点Q（-5，3）运动到点Q′(0，

19

3

)．
∴向右平移了5个单位长度，向上平移了

10

3

个单位长度．
∵抛物线y=-

2

3

x2-

4

3

x+2的顶点为(-1，

8

3

)
∴运动后的抛物线的顶点坐标为（4，6）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式以及与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，以及动点问题，动点问题的解决关键是找到特殊分界点，进行讨论是解决问题的关键，此题综合性较强，分析过程中必须细心．