Question

如图，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,相似三角形的性质

专题：代数几何综合题

分析：（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．

解答：解：（1）将点A（2，3）代入解析式y=

k

x

，
得：k=6；

（2）将D（3，m）代入反比例解析式y=

6

x

，
得：m=

6

3

=2，
∴点D坐标为（3，2），
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A（2，3）与D（3，2）代入
得：

2k+b=3 3k+b=2

，
解得：

k=-1 b=5

则直线AD解析式为y=-x+5；

（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，
∵AB∥x轴，
∴BM⊥y轴，
∴MB∥CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C为OB的中点，即

OC

OB

=

1

2

，
∴

S△OCN

S△OBM

=（

1

2

）²，
∵A，C都在双曲线y=

6

x

上，
∴S_△OCN=S_△AOM=3，
由

3

3+S△AOB

=

1

4

，
得：S_△AOB=9，
则△AOB面积为9．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．