Question

3．如图1，一动点P从点O出发，沿着y=2x以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向点C运动，到点C后，沿着直线AB方向向点B运动．运动速度不变．运动到点B后停止运动，作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于点F．四边形FOEP与△OCB的重叠面积为S（平方单位）．运动时间为t（秒）则S与t的函数图象如图2所示．
（1）求C点坐标；
（2）求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）设C（a，2a），a＞0，由图2可知OC=2$\sqrt{5}$，根据勾股定理即可求得；
（2）分两种情况考虑：当P在线段OC上，如答题图1所示，矩形与三角形重叠部分为三角形OPE，求出三角形OPE面积即可得到结果；当P在线段BC上，如答题图2所示，重叠部分面积为矩形面积减去三角形OFN面积，列出S关于t的解析式即可．

解答 解：（1）∵点C在直线y=2x上，
∴设C（a，2a），a＞0，
由图2可知动点P从点O出发，沿着y=2x以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向点C运动，2秒到点C，
∴OC=2$\sqrt{5}$，
∴a²+（2a）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得a=2，
∴C（2，4）；
（2）分两种情况考虑：
当P在线段OC上时，如答题图1所示，根据题意得：OP=$\sqrt{5}$t，
∴P（t，2t），
∴S=S_△OPE=$\frac{1}{2}$OE•PE=$\frac{1}{2}$t•2t=t²（0≤t≤2）；
当P在线段BC上时，如答题图2所示，根据题意得：BC=4$\sqrt{5}$，
∴CP=（t-2）$\sqrt{5}$，BP=（6-t）$\sqrt{5}$，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
过C作CM⊥x轴，交x轴于点M，设PF与直线y=2x的交点为N，
∵PE∥CM，
∴$\frac{PE}{CM}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BE}{BM}$，即$\frac{PE}{4}$=$\frac{（6-t）\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{BE}{8}$，
∴PE=6-t，BE=12-2t，
∵OB=OM+BM=2+8=10，
∴OE=10-（12-2t）=2t-2，
把y=6-t代入y=2x，解得x=3-$\frac{1}{2}$t，
∴PF与直线y=2x的交点横坐标为3-$\frac{1}{2}$t，
∴S=S_矩形PEOF-S_△OFN=OE•PE-$\frac{1}{2}$FN•OF=（2t-2）•（6-t）-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$t）•（6-t）
=-$\frac{9}{4}$t²+17t-21（2＜t≤6）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理，利用了分类讨论的思想是解本题第二问的关键．