Question

18．如图所示：四边形ABCD内接于⊙O，AB=9，BC=1，CD=DA=8
（1）若把$\widehat{BC}$与$\widehat{DC}$交换位置，∠DAB的大小是否变化？为什么？
（2）求证：∠DAB=60°．

Answer 1

分析 （1）根据圆心角、弧、弦的关系确定$\widehat{BD}$的度数没有变化，而∠DOB等于$\widehat{BD}$度数，$∠DAB=\frac{1}{2}$∠DOB，故∠DAB的大小没有变化；
（2）连接BD，在AB上取一点P，使得BP=BC=1，然后证得△DBP≌△DBC，得出DP=CD，即可证得AD=AP=CD=DP，得出△ADP是等边三角形，证得∠DAB=60°．

解答 （1）解：若把$\widehat{BC}$与$\widehat{DC}$交换位置，∠DAB的大小不变化；
理由：∵把$\widehat{BC}$与$\widehat{DC}$交换位置，$\widehat{BD}$的度数没有变化，∠DOC等于$\widehat{BD}$度数，
∴∠DOB的度数不变，
∵$∠DAB=\frac{1}{2}$∠DOB，
∴∠DAB的大小没有变化；
（2）证明：如图，连接BD，在AB上取一点P，使得BP=BC=1，
∵AD=CD=8，AB=9，BC=1，
∴AP=AB-BP=8=AD=CD，
∵AD=CD，
∴∠DBA=∠DBC，
在△DBP和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BC}\\{∠DBA=∠DBC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△DBC（SAS），
∴DP=CD，
∴AD=AP=CD=DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAB=60°

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建求得三角形是解题的关键．