题目内容
10．如图，点M、O、N在同一条直线上，点A是射线OP上一动点，点B是直线MN上一动点，连接AB交∠PON的角平分线OC于点C，过点C作CD∥OP交直线MN于点D，过点B作BE∥OC交直线CD于点E．（1）如图1，当点B在射线ON上时，求证：∠CDB=2∠CEB；
（2）如图2，当点B在射线ON上时，请直接写出∠CDB与∠CEB的数量关系；
（3）如图3，在（2）条件下，过点A作AH⊥OC于H，若∠ACO：∠BED=1：3，且∠OAH=30°，求∠BCD的度数．
分析 （1）根据角平分线的定义得到∠POC=∠BOC，由平行线的性质得到∠POC=∠OCD，等量代换得到∠OCD=∠COD，根据平行线的性质得到∠OCD=∠E，∠COD=∠DBE，根据外角的性质得到∠CDB=∠DBE+∠E，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠POC=∠BOC，由平行线的性质得到∠POC=∠OCD，等量代换得到∠OCD=∠COD，根据平行线的性质得到∠OCD=∠E，∠COD=∠DBE，等量代换得到∠DBE=∠E=∠OCD=∠COD，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）根据垂直的定义得到∠AHO=90°，根据三角形的内角和得到∠AOH=60°，等量代换得到∠COD=∠OCD=∠BED=60°，根据已知条件求得∠ACH=20°，即可得到结论．
解答 （1）证明：∵OC平分∠POB，
∴∠POC=∠BOC，
∵CD∥OP，
∴∠POC=∠OCD，
∴∠OCD=∠COD，
∵OC∥BE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠DBE，
∴∠DBE=∠E，
∵∠CDB=∠DBE+∠E，
∴∠CDB=2∠CEB；
（2）解：∠CDB=180°-2∠CEB，
理由：∵OC平分∠POB，
∴∠POC=∠DOC，
∵CD∥OP，
∴∠POC=∠OCD，
∴∠OCD=∠COD，
∵OC∥BE，
∴∠OCD=∠E，∠COD=∠DBE，
∴∠DBE=∠E=∠OCD=∠COD，
∵∠CDB=180°-2∠OCD，
∴∠CDB=180°-2∠CEB；
（3）解：∵AH⊥OC，
∴∠AHO=90°，
∵∠OAH=30°，
∴∠AOH=60°，
∴∠COD=∠OCD=∠BED=60°，
∵∠ACO：∠BED=1：3，
∴∠ACH=20°，
∴∠BCD=∠ACH+∠OCD=80°．
点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰掌握各性质定理是解题的关键．
备战中考寒假系列答案| A． | 1，2，3 | B． | $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$ | C． | 1，2，$\sqrt{3}$ | D． | 6，8，14 |
下图是五边形，它有五个内角，五条边，从一个顶点出发的对角线有2条．
如图所示：四边形ABCD内接于⊙O，AB=9，BC=1，CD=DA=8
如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BD=CD．求证：DE是⊙O的切线．