题目内容
如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．（1）求F点的坐标；
（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x-36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
（3）直线y=k（x-3）-
| 35 |
| 4 |
| 35 |
| 4 |
| 1 |
| PB |
| 1 |
| QB |
| (x2-x1)2+(y2-y1)2 |
考点：二次函数综合题,两点间的距离
专题：压轴题
分析：（1）根据折叠的性质得到AF=AD，所以在在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF的长度，然后由点F在x轴上易求点F的坐标；
（2）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．根据抛物线的切线的定义知，直线y=6x-36与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程ax2-（6a+6）x+36=0，则该方程的根的判别式△=0；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到：x2-(6+k)x+3k+
=0，根据根与系数的关系求得x1+x2=6+k，x1•x2=3k+
．利用两点间的距离公式推知
+
=
•
，易求
•
=
为定值．
（2）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．根据抛物线的切线的定义知，直线y=6x-36与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程ax2-（6a+6）x+36=0，则该方程的根的判别式△=0；
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到：x2-(6+k)x+3k+
| 35 |
| 4 |
| 35 |
| 4 |
| 1 |
| PB |
| 1 |
| QB |
| 1 | ||
|
| ||
| 3(x1+x2)-x1x2-9 |
| 1 | ||
|
| ||
9-
|
| 4 |
| 73 |
解答：解：（1）由折叠的性质得到：△ADE≌△AFE，则AF=AD．
又∵AD=10，AO=8，
∴OF=
=
=6，
∴F（6，0）；
（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．
依题意知，抛物线与直线y=6x-36相切，
∴
，
∴ax2-（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，
∴△=[-（6a+6）]2-4a×36=0，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为 y=x2-6x；
（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．
依题意得
，
得 x2-(6+k)x+3k+
=0，
∴x1+x2=6+k，x1•x2=3k+
．
∵
+
=
+
=
+
=
(
+
)
=
•
=
•
即
•
=4为定值．
又∵AD=10，AO=8，
∴OF=
| AF2-OA2 |
| 102-82 |
∴F（6，0）；
（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x-0）（x-6），即y=ax（x-6）（a≠0）．依题意知，抛物线与直线y=6x-36相切，
∴
|
∴ax2-（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，
∴△=[-（6a+6）]2-4a×36=0，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为 y=x2-6x；
（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．
依题意得
|
得 x2-(6+k)x+3k+
| 35 |
| 4 |
∴x1+x2=6+k，x1•x2=3k+
| 35 |
| 4 |
∵
| 1 |
| PB |
| 1 |
| QB |
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
=
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
=
| 1 | ||
|
| 1 |
| x1-3 |
| 1 |
| 3-x2 |
=
| 1 | ||
|
| x1-x2 |
| 3(x1+x2)-x1x2-9 |
=
| 1 | ||
|
| ||
| 3(x1+x2)-x1x2-9 |
即
| 1 | ||
|
| ||
9-
|
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时，要学生掌握数形结合的数学思想方法．另外，解答（3）题时，需要熟悉两点间的距离公式．
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