Question

已知线段AB在第一象限内，A的坐标为（1，3），B的坐标为（5，1），若反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与线段AB有交点，则k的最大值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：先利用待定系数法求出线段AB的解析式为y=-

1

2

x+

7

2

（1≤x≤5），再利用反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组

y=- 1 2 x+ 7 2 y= k x

，消去y得到x²-7x+2k=0，由于反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与线段AB有交点，即方程组有解，则根据判别式的意义得到△=（-7）²-4•2k≥0，然后解不等式后即可得到k的最大值．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，3）、B（5，1）代入得

k+b=3 5k+b=1

，解得

k=- 1 2 b= 7 2

，
所以线段AB的解析式为y=-

1

2

x+

7

2

（1≤x≤5），
由

y=- 1 2 x+ 7 2 y= k x

得x²-7x+2k=0，
因为反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与线段AB有交点，
所以△=（-7）²-4•2k≥0，解得k≤

49

8

，
所以k的最大值为

49

8

．
故答案为

49

8

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求一次函数解析式．