Question

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，连接OE，已知∠AEO=30°，∠C=60°，BC=2

3

．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径的长度；
（3）求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）由OA=OE得到∠A=∠AEO=30°，而∠C=60°，则∠ABC=90°，根据切线的判定方法即可得到BC是⊙O的切线；
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系由BC=2

3

，∠A=30°得到AC=2BC=4

3

，再根据勾股定理计算出AB=6，于是得到⊙O的半径为3；
（3）过点O作OF⊥AE于点E，根据垂径定理得AF=EF，在Rt△OEF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OF=

3

2

，则EF=

3

2

3

，所以AE=2EF=3

3

．

解答：（1）证明：∵∠AEO=30°，OA=OE，
∴∠A=∠AEO=30°，
又∵∠C=60°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥CB，
又∵AB是直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵BC=2

3

，∠A=30°，
∴AC=2BC=4

3

，
在Rt△ABC中，
∴AB=

AC2-BC2

=6，
∴AO=3，
即⊙O的半径为3；
（3）解：过点O作OF⊥AE于点E，如图，
∴AF=EF，
在Rt△OEF中，∠AEO=30°，OE=3，
∴OF=

3

2

，
∴EF=

3

2

3

，
∴AE=2EF=3

3

．

点评：考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、垂径定理和含30度的直角三角形三边的关系．