Question

11．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=4，tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，则AB=$\sqrt{5}$，sin∠ABE=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 （1）首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=2，又由tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，可求得OC的长，然后由勾股定理求得边AB的长；
（2）由AE⊥BC，利用S_菱形ABCD=BC•AE=$\frac{1}{2}$BD•AC，即可求得AE的长，继而求得∠ABE的正弦值．

解答 解：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=$\frac{OC}{OB}$=，
∴OC=1，
∴AB=BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；

（2）∵AE⊥BC，
∴S_菱形ABCD=BC•AE=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∵AC=2OC=2，
∴$\sqrt{5}$AE=$\frac{1}{2}$×2×4，
∴AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 此题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．