Question

如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．

Answer 1

分析：（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF=CH，根据∠FCH=60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．

解答：证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．

（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵

∠CBE=∠CAH BC=AC ∠BCF=∠ACH

，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC=∠HCD=60°，
∴FH∥BD．

点评：本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．