Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+

5

2

交直线y=kx（k＞0）于点B，平行于y轴的直线x=7交它们于点A、C，且AC=15．
（1）求∠OBC的度数；
（2）若正方形的四个顶点恰好在射线AB、射线CB及线段AC上，请直接写出射线AB上的正方形顶点的坐标．（不需要写出计算过程）．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得C的坐标，即可求得A的坐标，然后利用待定系数法求得AB的解析式，即可作出判断；
（2）首先求得△ABC的三边长，然后利用相似三角形的性质求得正方形的边长，则正方形上射线AB上的点F到O的距离，OF即可求得，然后作FG⊥x轴于点G，根据三角形相似即可求得F的坐标．

解答：解：（1）在y=-

1

2

x+

5

2

，中令x=7，则y=-

1

2

×7+

5

2

=-1，
∵AC=15，
∴A的纵坐标是14，则A的坐标是（7，14），
把（7，14）代入y=kx得：7k=14，
解得：k=2，
∵2×（-

1

2

）=-1，
∴直线AB和BC垂直，
∴∠OBC=90°；
（2）根据题意得：

y=2x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得：

x=1 y=2

，
则B的坐标是（1，2），
0B=

12+22

=

5

．
AB=

(7-1)2+(14-2)2

=6

5

，BC=

(7-1)2+(2+1)2

=3

5

，
设正方形BDEF的边长是x，
则△AFE∽△ABC，
则

EF

BC

=

AF

AB

，即

x

3 5

=

6 5 -x

6 5

，
解得：x=2

5

，
则OF=

5

+2

5

=3

5

，
OA=

72+142

=7

5

，
作FG⊥x轴于点G．
∵FG∥AH，
∴△FOG∽△AOH，
∴

FG

AH

=

OF

OA

=

3 5

7 5

=

3

7

，
∴FG=

3

7

AH=

3

7

×14=6，则F的纵坐标是7，
把y=6代入y=2x得：x=3．
则F的坐标是（3，6）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，直线互相垂直的条件，以及相似三角形的判定与性质，求得正方形BDEF的边长是关键．