Question

【题目】如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，AD上的点，∠FEC＝∠FCE＝45°．

（1）求证：AF＝CD．

（2）若AD＝3，△EFC的面积为4，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析．（2）．

【解析】

（1）由AAS证明△AEF≌△DFC，即可得出结论；

（2）由△EFC的面积求出EF＝CF，由勾股定理求出EC，再由勾股定理求出BE即可．

（1）证明：∵在△CEF中，∠FEC＝∠FCE＝45°，

∴FE＝FC，∠EFC＝90°，

∴∠AFE+∠CFD＝90°，

又∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠CFD+∠DCF＝90°，

∴∠AFE＝∠DCF，

在△AEF和△DFC中，，

∴△AEF≌△DFC（AAS）

∴AF＝CD；

（2）解：由（1）得△CEF中，∠EFC＝90°，FE＝FC，△EFC的面积为4

∴

∴，

在Rt△CEF中，，

又∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝3

∴在Rt△BEC中，BE2＝CE2﹣BC2＝16﹣32＝7，

∴．