Question

【题目】如图，在中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）试猜想直线DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE=AH，EF=4，求DF的值．

Answer 1

【答案】（1）直线与⊙O相切，理由见解析；（2）DF=6

【解析】

（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，可得，即可证明OD//AC，根据平行线的性质可得∠ODH=90°，即可的答案；

（2）连接，由圆周角定理可得∠B=∠E，即可证明∠C=∠E，可得CD=DE，由AB是直径可得∠ADB=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得HE=CH，BD=CD，可得OD是△ABC的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案.

（1）直线与⊙O相切，理由如下：

如图，连接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

∵，

∴∠ODH=∠DHC=90°，

∴DH是⊙O的切线.

（2）如图，连接，

∵∠B和∠E是所对的圆周角，

∴，

∵

∴

∴DC＝DE

∵，

∴HE=CH

设AE=AH=x，则，，

∵是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

∵AB=AC

∴BD＝CD

∴OD是的中位线，

，，

∴，

∴，

∵EF=4

∴DF=6