Question

如图，抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．（改编）       

Answer 1

解：（1）由题意得b=2，c=﹣3                                            2分

则解析式为：y=x²+2x﹣3=（x+1）²-4；D(-1,-4)                             2分 

（2）由题意结合图形

则解析式为：y=x²+2x﹣3，

解得x=1或x=﹣3，由题意点A（﹣3，0），

∴AC=，CD=，AD=，

由AC²+CD²=20=AD²，所以△ACD为直角三角形；                             4分

（3）

设在抛物线上存在点F ，使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则BA∥EF，BF∥AE．

当BA∥EF，BA=EF时，∵AB=4，∴F的横坐标为-5或3

∴x=-5时，知y=x²+2x﹣3=12，同理x=3时，知y=x²+2x﹣3=12

∴F₁（﹣5，12）或F₂（3，12），                                      2分

当BF∥AE时，AE=BE，四边形AEBF为菱形，EF垂直平分AB，

∴F 为顶点D(-1,-4) 即F₃（-1，-4）                                     1分

综上所述：抛物线上 存在点F₁（﹣5，12）或F₂（3，12）或F₃（-1，-4），使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形                                       1分