Question

如图，在△ABC中，AB=AC，过A、B两点的圆交AC于点E，交BC于点D，且D为BC的中点．
（1）求证：AB为此圆的直径；
（2）如果点E是

AD

的中点，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）连接AD，AB=AC，求出∠ADB=90°，判断出AB为此圆的直径；
（2）点E是

AD

的中点，

AE

=

DE

判断出∠1=∠4=∠3，得到∠ABC=∠C=∠BAC，判断出△ABC是等边三角形．

解答：解：（1）如图1，连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为此圆的直径；
（2）如图2，
∵点E是

AD

的中点，
∴

AE

=

DE

，
∴∠1=∠4=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠ABC=∠C=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．