Question

8．如图，OM与OB是两坐标轴夹角的三等分线，点E是OM上一点，EC⊥x轴于C点，ED⊥OB于D点．（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）求证：OC=OD；
（3）试判断OE与线段CD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证∠ECD=∠EDC，只需证DE=EC，由角平分线的性质可知：DE=EC是成立的；
（2）证明Rt△ODE≌Rt△OCE全等即可；
（3）由OD=OC，ED=EC可知OE垂直平分CD．

解答 （1）证明：∵EC⊥x轴于C点，ED⊥OB于D点，OE平分∠DOC，
∴DE=EC，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）解：在Rt△ODE和Rt△OCE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EC}\\{OE=OE}\end{array}\right.$
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC=OD；
（3）OE垂直平分CD．理由如下：
证明：∵OE为∠COD的平分线，且OC=OD
∴OE垂直平分CD．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角表的判定与性质，线段垂直平分线的判定，属于基础题．