Question

如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，

AD

=

CD

，∠BAC=20°．
（1）连接OD，求证：OD⊥AC．
（2）求∠DAC的度数．

Answer 1

分析：（1）连接OD，OC，由

AD

=

CD

可知，AD=CD，∠DAE=∠ACD，再根据OA=OC，OD=OD可知△AOD≌△COD，进而可得出∠ADO=∠CDO，△ADE≌△CDE，故AE=CE，由垂径定理可知OD⊥AC；
（2）由∠BAC=20°求出

BC

的度数，再根据

AD

=

CD

求出

CD

的度数，再根据弧、圆心角的关系即可得出结论．

解答：解：（1）连接OD，OC，
∵

AD

=

CD

，
∴AD=CD，∠DAE=∠ACD，
在△AOD与△COD中，
∵OA=OC，AD=CD，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠ADO=∠CDO，
在△ADE与△CDE中，
∵∠ADO=∠CDO，AD=CD，∠DAE=∠ACD，
∴△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∴OD⊥AC；

（2）∵∠BAC=20°，
∴

BC

=40°，
∵

AD

=

CD

，
∴

CD

=

180°-40°

2

=70°，
∴∠DAC=

70°

2

=35°．

点评：本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角及弧、弦的关系、全等三角形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．