Question

如图直线y=-x+10与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点．（当A运动到点O时，动直线EF随之停止运动） 连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求△APF的面积；
（2）设t的值分别取t₁、t₂时（t₁≠t₂），所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断；
（3）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）当x=0或y=0时，分别求出y的值和x的值，就可以求出OA，OB的值，就可以求出sin∠OAB的值，设△APF的面积为S，作FD⊥OA于D，运用三角函数值就可以求出三角形的高，根据三角形的面积公式就可以求出结论；
（2）作F₁D₁⊥x轴于D₁，F₂D₂⊥x轴于D₂，可以得知F₁D₁=t₁，F₂D₂=t₂，F₁A=

2

t₁，F₂A=

2

t₂，可以求出

F1A

F2A

=

P1A

P2A

，再由∠A=∠A，就可以得出△AF₁P₁∽△AF₂P₂；
（3）由题干条件可以得出OE=t，BE=10-t，可以得出EF=10-t，OP=10-2t，设梯形OPFE的面积为S，由梯形的面积公式表示出S，根据抛物线的顶点式就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1，设△APF的面积为S，作FD⊥OA于D，
∴∠FDA=90°．
∵线y=-x+10与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=10，当y=0时，x=10，
∴A（10，0），B（0，10），
∴AO=BO=10，
∴AB=10

2

，
∴sin∠BAO=

2

2

．
当t=1时，AP=2，FD=1，
∴S=

2×1

2

=1．

（2）如图2，作F₁D₁⊥x轴于D₁，F₂D₂⊥x轴于D₂，
∴F₁D₁=t₁，F₂D₂=t₂，
∴F₁A=

2

t₁，F₂A=

2

t₂，
∴

F1A

F2A

=

2 t1

2 t2

=

t1

t2

 ，
∵P₁A=2t₁，P₂A=2t₂，
∴

P1A

P2A

=

2t1

2t2

=

t1

t2

，
∴

F1A

F2A

=

P1A

P2A

．
∵∠A=∠A，
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂；

（3）设梯形OPFE的面积为S，
∵OE=t，AP=2t，
∴OP=10-2t，EF=BE=10-t．
∴S=

1

2

（OP+EF）•OE，
=

1

2

（10-2t+10-t）•t
=-

3

2

t²+10t
=-

3

2

（t-

10

3

）²+

50

3

．
∴当t=

10

3

（在0＜t＜5范围内）时，S_最大值=

50

3

．

点评：本题考查了一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定与性质的运用，梯形的面积公式的运用及抛物线的顶点式的运用，在求抛物线的最值时注意要在自变量的取值范围内．