Question

【题目】（1）如图1，在中，分别以、为斜边，向的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为，点分别为边的中点.问： 是否全等？____（填“是”或“否”）；

（2）如图2，在中，分别以为底边，向的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为，且.点分别为 边的中点.

①试判断是否满足（1）中的关系？若满足，请说明理由；若不满足，请写之间存在的一种关系，并加以说明.

②若， ， 的面积为32，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）①否， 相似，理由见解析；②.

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易证：DF=AF=GM，FM=AG=GE，∠DFB=∠EGC=90°，∠BFM=∠BAC=∠MGC，从而可得∠DFM=∠EGM，由此即可由“SAS”证得△DFM≌△MGE；

（2）①同（1）可证得∠DFM=∠MGE，由∠BAD+∠CAE=90°，结合∠AGE=90°，可证得∠DAF=∠AEG，从而可得tan∠DAF=tan∠AEG，由此可得，结合AF=GM，AG=FM可得，这样即可证得△DFM∽△MGE了；

②由AB=6易得AF=MG=3，结合AD=5，在Rt△ADF中易得DF=4，从而可得DF：MG=4：3，结合△DFM∽△MGE即可由△DFM的面积求得△MGE的面积了.

试题解析：

（1）是，理由如下：

∵△ABD、△AEC分别是以AB和AC为斜边的等腰直角三角形，点F、M、G分别是AB、BC、AC的中点，

∴DF=AF=GM，FM=AG=GE，∠DFB=∠EGC=90°，FM∥AC，MG∥AB，

∴∠BFM=∠BAC=∠MGC，

∴∠DFB+∠BFM=∠MGC+∠EGC，即∠DFM=∠EGM，

∴△DFM≌△MGE；

故答案为：“是”；

（2）①否， 相似；

理由：∵都是等腰三角形，且为的中点，

∴，∵点分别为边的中点，

∴,

∴,

∴，

即，

∵,，

∴，

∴，

∴，

即，

又∵，

∴；

②∵，

∴，

∴在中， ，

∵由①知，且的面积为32，

∴，

∴.