Question

【题目】如图，已知O是直线AB上一点，∠BOC＜90°，三角板（MON）的直角顶点落在点O处现将三角板绕着点O旋转，并保持OM和OC在直线AB的同一侧．

（1）若∠BOC＝50°

①当OM平分∠BOC时，求∠AON的度数．

②当OM在∠BOC内部，且∠AON＝3∠COM时，求∠CON的度数：

（2）当∠COM＝2∠AON时，请画出示意图，猜想∠AOM与∠BOC的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①65°；②70°；（2）图详见解析，3∠AOM+∠BOC＝360°或∠AOM＝∠BOC．

【解析】

（1）①根据平角的定义得到∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，根据角平分线的定义得到∠COM＝∠BOC＝25°，于是得到结论；

②如图1，设∠COM＝α，则∠AON＝3α，求得∠BOM＝50°﹣α，列方程即可得到结论；

（2）①如图2，设∠AON＝α，则∠COM＝2α，②如图3，设∠AON＝α，则∠COM＝2α，③如图4，设∠AON＝α，则∠COM＝2α，根据角的和差即可得到结论．

解：（1）①∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣50°＝130°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM＝∠BOC ＝25°，

∵∠MON＝90°，

∴∠CON＝90°﹣25°＝65°，

∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝65°；

②如图1，∵∠AON＝3∠COM，

∴设∠COM＝α，则∠AON＝3α，

∴∠BOM＝50°﹣α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AON+∠BOM＝90°，

∴3α+50°﹣α＝90°，

∴α＝20°，

∴∠CON＝90°﹣α＝70°；

（2）①如图2，∵∠COM＝2∠AON，

∴设∠AON＝α，则∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠BOM＝90°﹣∠AON＝90°﹣α，

∴∠BOC＝∠BOM+∠COM＝90°﹣α+2α＝90°+α，

∵∠BOC＜90°，

∴这种情况不存在；

②如图3，∵∠COM＝2∠AON，

∴设∠AON＝α，则∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°+α，∠BOC＝90°﹣3α，

∴3∠AOM+∠BOC＝360°；

③如图4，∵∠COM＝2∠AON，

∴设∠AON＝α，则∠COM＝2α，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣α，∠BOC＝180°﹣∠AOM﹣∠COM＝90°﹣α，

∴∠AOM＝∠BOC．