Question

7．如图，在△ABC中，AB⊥BC，将△ABC沿着AC折叠，得到△ADC，点M、N分别在AB、AD边上，且AM=AN=$\frac{1}{3}$AB，连接MN，若∠BAD=60°，则tan∠MNC的值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；设BC=λ，分别用λ表示CP、AP、BD的长度；运用△AMN∽△ABD，列出比例式，求出AO、NO的长度，进而求出CO的长度；运用正切函数的定义即可解决问题．

解答 解：如图，连接BD；由题意得：
MN∥BD，MN⊥AC，BD⊥AC；∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°；
设BC=λ；在直角△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2λ；而BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴CP=$\frac{1}{2}$λ，AP=2λ$-\frac{1}{2}λ$=$\frac{3}{2}λ$；BD=2BP=$\sqrt{3}$λ；
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AO}{AP}$=$\frac{MN}{BD}$，而AM=$\frac{1}{3}$AB，
∴AO=$\frac{1}{3}$AP=$\frac{1}{2}$λ，MN=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}λ$；
∴NO=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{3}}{6}λ$，
∴tan∠MNC=$\frac{CO}{NO}$，而CO=2λ$-\frac{1}{2}λ$=$\frac{3}{2}λ$，
∴tan∠MNC=3$\sqrt{3}$，
故答案为3$\sqrt{3}$．

点评 该题以直角三角形为载体，主要考查了直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及其性质、三角函数的定义等知识点及其应用问题；灵活运用直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及其性质等几何知识点是解题的基础和关键．