Question

 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）．

(1) 当⊙O的半径为1时，① 在点D，E，F中，

⊙O的关联点是__________；② 过点F作直线l

交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l

上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

 

Answer 1

 (1) ①D、E ；

②由题意可知，显然若P点是圆C距圆心最近的关联点，则这个点可在圆心，即这个距离为0.若P点是圆C距圆心最远的关联点，则点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60°.由右图可知∠APB= 60°，则∠CPB= 30°，

连接 BC，则 PC=2BC=2r

∴若P点为圆C的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足 0≤d ≤2r .

∵∠GFO=30°，OF=.

∴OG=2，∴G为l上最左边的⊙O的关联点.

在GF上取一点M使OM=2，

则为l上⊙O的关联点应在GM之间.

过M作MH⊥OF垂足为H

易得△OGM为等边三角形，在Rt△OMH中，∠MOH=30°∴OH=

即P（m，n）在线段GM上.∴0≤m≤

(2) 若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；设这个点为I.

 ∵EF==4

∴IF=2，由前面计算知⊙I的半径为1，

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，

这个圆的半径r的取值范围为r≥1.