Question

3．如图，△ABC是等边三角形，BE⊥AC于E，点F、G在BE上（BF＜BG），连接AF，CG，CG²=GF•GB，
（1）求证：∠AFE=∠BCG；
（2）过点F作直线CG的垂线，垂足为H，M为AB的中点，连接MH，探究MH与BF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，连结CF，由CG²=GF•GB，加上∠CGF=∠BGC，则可判断△CGF∽△BGC，则∠GFC=∠BCG，再根据等边三角形的性质得∠AFE=∠GFC，所以∠AFE=∠BCG；
（2）连结ME，HE，CM，如图2，根据等边三角形的性质得∠2=∠EBC=∠BCM=30°，再利用△CGF∽△BGC得到∠GCF=∠GBC=30°，则∠1=∠MCH，接着证明H、E点在以FC为直径的圆上，理由圆周角定理得到∠3=∠HCF=30°，于是可判断HE∥BC，而ME∥BC，所以点H在ME上，即有MH∥BC，所以∠HMC=∠MCB=30°，∠2=∠HMC，于是可得到△ABF∽△CMH，利用相似比得BF：MH=AB：CM，由于CM=$\sqrt{3}$BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，所以MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF．

解答 （1）证明：如图1，连结CF，
∵CG²=GF•GB，即$\frac{CG}{GB}$=$\frac{GF}{GC}$，
而∠CGF=∠BGC，
∴△CGF∽△BGC，
∴∠GFC=∠BCG，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴AE=CE，
∴FE平分∠AFC，
∴∠AFE=∠GFC，
∴∠AFE=∠BCG；
（2）解：MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF．
理由如下：连结ME，HE，CM，如图2，
∵△ABC是等边三角形，M点为中点，BE⊥AC，
∴∠2=∠EBC=∠BCM=30°，
∵△CGF∽△BGC，
∴∠GCF=∠GBC=30°，
∴∠1=∠MCH，
∵FH⊥CG，
∴∠FGC=90°，
而∠FEC=90°，
∴H、E点在以FC为直径的圆上，
∴∠3=∠HCF=30°，
∴HE∥BC，
∵ME为△ABC的中位线，
∴ME∥BC，
∴点H在ME上，
∴MH∥BC，
∴∠HMC=∠MCB=30°，
∴∠2=∠HMC，
∴△ABF∽△CMH，
∴BF：MH=AB：CM，
在Rt△BCM中，BM=$\frac{1}{2}$BC，
CM=$\sqrt{3}$BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时，注意通过相似比计算相应线段的长或对应角线段．解决本题的关键是构建含BF和MH的两三角形相似，同时熟练掌握等边三角形的性质．