Question

在平面直角坐标系中，A（0，-5），B（-5，0），P为x轴上B点左侧的一个动点，以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PA=PM，∠APM=90°，MB交y轴于Q，当P在x轴上运动时，线段OQ的长度是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：常规题型

分析：过M作MN⊥x轴于N，可证△PMN≌△APO，可得PN=OB，可证明MN=BN，可证明△BOQ是等腰直角三角形．

解答：解：过M作MN⊥x轴于N．

∵A（0，-5）；B（-5，0）
∴OA=OB=5
∵∠APM=90°；MN⊥ON；OA⊥OB
∴∠PNM=∠AOP=90°
∴∠MPN+∠APO=∠APO+∠OAP=90°
∴∠MPN=∠OAP
在△PMN和△APO中，

∠MNP=∠POA ∠MPN=∠OAP PA=PM

，
∴△PMN≌△APO（AAS），
∴PN=OA=OB；MN=OP，
∵MN=OP=OB+PB=PN+PB=BN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠OBQ=∠MBN=45°，
∴△BOQ是等腰直角三角形，
∴OQ=OB=5是定值，
故当P在x轴上运动时，线段OQ的长度不变化，OQ=5．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中构建△PMN求证△PMN≌△APO是解题的关键．