Question

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分別交x轴、y轴于A、B两点．与反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E．已知DE=3，AE=6．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式kx+b+$\frac{6}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据点D在反比例函数上，且DE=3可得出点D的坐标，再由AE=6可得出点A的坐标，由待定系数法即可求出直线AD的函数解析式；
（2）将一次函数解析式代入反比例函数中得处关于x的分式方程，解方程即可得出交点C的坐标，将原不等式进行变形，再结合一次函数与反比例函数图象可直接得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵点D在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图象上，且DE=3，
∴将y=3代入反比例函数解析式得：3=-$\frac{6}{x}$，即x=-2，
点D的坐标为（-2，3）．
又∵AE=6，
∴A点的坐标为（4，0）．
将A与D点的坐标代入一次函数解析式中得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
（2）将y=-$\frac{1}{2}$x+2代入y=-$\frac{6}{x}$中得：-$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{6}{x}$，
解得：x₁=-2，x₂=6，
当x=6时，y=-$\frac{6}{6}$=-1，
即点C的坐标为（6，-1）．
kx+b+$\frac{6}{x}$＞0可转化为kx+b＞-$\frac{6}{x}$，
根据两个函数y=-$\frac{1}{2}$x+2与y=-$\frac{6}{x}$的图象可知：
不等式的解集为：x＜-2或0＜x＜6．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题、待定系数法求函数解析式以及解分式方程，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出C点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件求出函数解析式，再结合图象可直接得出不等式的解集．