Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=4，⊙O的半径为5．求BF的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)5.

【解析】

（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是O的切线；
（2）在Rt△ABC中，运用勾股定理可求得AC的长度，运用切割线定理可将AE的长求出，根据△AED∽△ABF，可将BF的长求出．

证明：（1）连接OD，BC，OD与BC相交于点G，

∵D是弧BC的中点，

∴OD垂直平分BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，

∴四边形DECG为矩形，

∴CG=DE=4，

∴BC=8，

∵⊙O的半径为5，

∴AB=10，

∴AC==6，

OG=AC=3，GD=2，在矩形GDEC中 CE=GD=2，

∴AE=8．

∵D为弧BC的中点，

∴∠EAD=∠FAB，

∵BF切⊙O于B，

∴∠FBA=90°．

又∵DE⊥AC于E，

∴∠E=90°，

∴∠FBA=∠E，

∴△AED∽△ABF，

∴，

∴

∴BF=5．