Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）．

【解析】

（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）抛物线的对称轴为：x＝，点N的横坐标为：，即可求解；

（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；

（4）分0≤t≤、当＜t≤、＜t≤三种情况，分别求解即可．

解：（1）直线y＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），

则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，

将点C坐标代入上式并解得：b＝，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x＝，

点N的横坐标为： ，

故点N的坐标为（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝，

即∠ACO＝∠FAC，

①当点F在直线AC下方时，

设直线AF交x轴于点R，

∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，

设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝，

即点R的坐标为：（，0），

将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，

解得：，

故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②，

联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）；

②当点F在直线AC的上方时，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，

则点F′（3，2）；

综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；

（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝，则sinα＝，cosα＝；

①当0≤t≤时（左侧图），

设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，

则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，

则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，

则DT＝，DS＝，

S＝S△DST＝DT×DS＝；

②当＜t≤时（右侧图），

同理可得：

S＝＝DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝；

③当＜t≤时，同理可得S=；

综上，S＝．