题目内容

如图，矩形ABCD中，边长AB=3， $数学公式$ ，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度在边BC、CD上运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在同一直线上，DE与BF交于点O．
（1）若BE=1，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△BOE与△DOF的面积相等？
（3）延长DH交BC的延长线于M，当E点在BC边上的什么位置时，DM=DE？

解：（1）连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴∠DCB=∠G=90°，FC=GH，
∴FC∥GH，
∴四边形FCGH是平行四边形，
∴四边形FCGH是矩形，
∴两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度在边BC、CD上运动
∴BE=CF=1
∵矩形ABCD中，边长AB=3， $\text{[math]}$
∴BC=4
∴EC=3
∵EG=BC
∴CG=1
∴CG=CF，
∴四边形CGHF为正方形
∴DF=2 FH=1
∴DH= $\text{[math]}$ ；

（2）要使△BOE与△DOF的面积相等，由图看出只要△BCF与△DCE面积相等即可
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵由（1）可知，CF=BE，△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，
∴CF=BE=4-CE不会发生变化，
∴BC×BE=（4-BE）×CD
∴代入数值得 $\text{[math]}$ ；

（3）由题意知DM=DE
∴CD为EM的垂直平分线
由（1）中知FH∥BC
∴ $\text{[math]}$
∵FH=BE=FC CE=BC-BE
∴ $\text{[math]}$
代入数值得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）结合图形，由已知先证明CGHF为正方形，求出DF的长，进而求出DH．
（2）两个面积相等转换为另外两个相等即可，即△BCF与△DCE面积相等．
（3）根据平行线的关系容易证明 $\text{[math]}$ ，代入数值求解即可．
点评：注意题中的隐含条件的发掘，综合运用所学知识便于求解．