Question

19．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性质得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根据等角的余角相等得到∠2=∠4，则可判断△CDE∽△CBF；
（2）先∴BF=AB，设CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到$\frac{x}{3}=\frac{1}{x}$，然后利用比例性质求出x即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点
∴BF=AB，
设CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{BF}$，
∴$\frac{x}{3}=\frac{1}{x}$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$，
即CD的长为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质．