Question

2．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P．

（1）求证：BD=DP；
（2）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥MN，交AB于点F，证得△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP；
（2）过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，证得△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP；
（2）过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，证得△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP．

解答 （1）证明：如图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，

则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=DF．
∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{DF=DA}\\{∠DFB=∠DAP=135°}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴BD=DP．

（2）BD=DP成立．
证明：如图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，

则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=DF．
∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{DF=DA}\\{∠DFB=∠DAP=45°}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴BD=DP．

（3）BD=DP．
证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，

则△ADF为等腰直角三角形，
∴DA=DF．
在△BDF与△PDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠PAD=45°}\\{DF=DA}\\{∠BDF=∠PDA}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴BD=DP．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．