Question

6．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）点P在y轴上，且满足以点A、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，试写出点P所有可能的坐标；
（4）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移$\sqrt{5}$个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，把A坐标代入y=2x求出m的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据题意，利用对称性求出D的坐标，由A与D坐标，找出一次函数位于反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）根据A坐标求出OA的长，分三种情况：①以O为顶点，求出P₁与P₂的坐标；②以A为顶点，求出P₃坐标；③以OA为底边，求出P₄坐标即可；
（4）四边形OABC为菱形，理由为：求出OA的长，由平移规律求出BC的长，以及BC与OA平行，进而利用一组对边平行且相等的三角形为平行四边形得到APCB为平行四边形，再求出OC与OA长相等，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$（k＞0），
∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又点A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴-2=$\frac{k}{-1}$，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）由A的坐标为（-1，-2），得到D（1，2），
由图象得：正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1；
（3）OA=$\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，分三种情形：
①以O为顶点，P₁（O，-$\sqrt{5}$），P₂（O，$\sqrt{5}$）；
②以A为顶点，P₃（O，-4）；
③以OA为底边，设P₄（O，-b），OA中点为D，连接DP₄、AP₄，
∵S_△OAP4=$\frac{1}{2}$OP₄|x_A|=$\frac{1}{2}$OA•DP₄，
∴DP₄=$\frac{b}{\sqrt{5}}$，
在Rt△ODP₄中，由勾股定理得：OD²+DP₄²=OP₄²，
∴b=$\frac{5}{4}$，
∴P₄（O，-$\frac{5}{4}$）；
（4）四边形OABC是菱形，理由为：
证明：∵A（-1，-2），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由题意知：CB∥OA且CB=$\sqrt{5}$，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y=$\frac{2}{x}$上，
∴n=1，
∴C（2，1），
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．