Question

已知AD∥CB，∠DAB和∠ABC的平分线交于点E，过点E的直线交AD于D，交BC于点C，求证：DE=EC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AE，BC，交于点F，由AD与CB平行，利用两直线平行同旁内角互补以及内错角相等得到关系式，再由AE，BE分别为角平分线，利用角平分线定义及等式的性质得到BE垂直于AF，由内错角相等及等量代换得到∠BAF=∠F，利用等角对等边得到AB=FB，利用三线合一得到E为AF中点，即AE=FE，再由对顶角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答：证明：延长AE，BC，交于点F，
∵AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DAE=∠F，
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠DAE=∠BAE=

1

2

∠DAB，∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC，∠BAF=∠F，
∴∠EAB+∠ABE=90°，AB=BF，
∴∠AEB=90°，BE⊥AF，
∴E为AF中点，即AE=FE，
在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠F AE=FE ∠AED=∠FEC

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴DE=CE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．