题目内容

如图，在⊙O中＝＝，则与∠ABC相等的角有________个．

答案：3
提示：

(点拨：∠ACB＝∠DAC＝∠ADC．)


练习册系列答案
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如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数．

(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝________；

(2)若∠ABC＋∠ACB＝116°，则∠BIC＝________；

(3)若∠A＝56°，则∠BIC＝________；

(4)若∠BIC＝100°，则∠A＝________；

(5)通过以上计算，探索出您所发现规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是________．

证明：

正弦定理

　　命题：如图，在锐角△ABC中，BC＝a．CA＝b．AB＝c，△ABC的外接圆半径为R．则＝2R．

　　证明：连接CO并延长交O于点D．连接DB．则∠D＝∠A．

　　∵CD为O的直径，∴∠DBC＝．在Rt△DBC中

　　∵sinD＝．∴sinA＝，即＝2R．

　　同理＝2R．＝2R．

　　∴＝2R．

请你阅读前面所给的命题及其证明后，完成下面的(1)、(2)两小题：

(1)前面的阅读材料中略去了＝2R和＝2R”的证明过程，请你把＝2R”的证明过程补写出来．

(2)直接用前面阅读材料中命题的结论解题．

已知：如图，在锐角△ABC中，BC＝，CA＝，∠A＝．求△ABC的外接圆半径R及∠C．

　

定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等，

理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．

应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O，

(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积，

探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
【小题1】若直线y＝－x＋b平分矩形OABC的面积，求b的值；
【小题2】在（1）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点P顺时针旋转时，与直线BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由；
【小题3】在（1）的条件下，将矩形OABC沿DE折叠，若点O落在边BC上，求出该点坐标；若不在边BC上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形OABC沿平移后的直线折叠，点O恰好落在边BC上

提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

（1）当AP＝AD时（如图②）：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD ．

∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA ．

∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP

＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA

＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)

＝S△DBC＋S△ABC ．

（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；

（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；

问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．

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