Question

13．如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且CD•AE=AC•AG．
求证：（1）△ABC∽△AGE；
（2）AB²=GD•DE．

Answer 1

分析 （1）只要证明$\frac{AB}{AG}$=$\frac{AC}{AE}$，又∠BAC=∠GAE，即可证明△ABC∽△AGE；
（2）只要证明△ADG∽△EDA，可得$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DG}{AD}$，推出AD²=DE•DG即可证明；

解答 证明：（1）∵CD•AE=AC•AG．
∴$\frac{CD}{AG}$=$\frac{AC}{AE}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，
∴$\frac{AB}{AG}$=$\frac{AC}{AE}$，∵∠BAC=∠GAE，
∴△ABC∽△AGE，

（2）∵△ABC∽△AGE，
∴∠ACB=∠E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BC∥AD，
∴∠ACB=∠CAD=∠E，
∵∠ADG=∠ADE，
∴△ADG∽△EDA，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DG}{AD}$，
∴AD²=DE•DG，
∴AB²=DE•DG．

点评 本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．