Question

如图，直线y=2x+2交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），请解答列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，若平行于x轴的直线交抛物线于E，F，且EF=6，求△DEF的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：综合题

分析：（1）对于直线y=2x+2，令x=0求出对应的y值，确定出B的坐标，令y=0求出对应x的值，确定出A的坐标，根据抛物线与x轴交点为A和C，由A和C的坐标设出抛物线的二根式解析式y=a（x+1）（x-3）（a≠0），将C的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式求出顶点D坐标，由EF=6，且EF与x轴平行，得到E与F关于对称轴对称，得到EG=FG=3，确定出F横坐标，将F横坐标代入抛物线解析式求出纵坐标，再由D纵坐标求出DG的长，即可确定出△DEF的面积．

解答：解：（1）对于直线y=2x+2，
令x=0，求出y=2，令y=0，求出x=-1，
∴A（-1，0），B（0，2），
又∵C（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
将B（0，2）代入上式得：2=-3a，
解得：a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

（x+1）（x-3）=-

2

3

x²+

4

3

x+2，即y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）由抛物线y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得到顶点D（1，

8

3

），
∵EF=6，且EF∥x轴，即EF关于对称轴DG对称，
∴EG=FG=3，即F横坐标为4，
将x=4代入得：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2=-

32

3

+

16

3

+2=-

10

3

，
∴DG=6+

10

3

=

28

3

，
则S_△DEF=

1

2

EF•DG=28．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，涉及的知识有：坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．