Question

边长为10、10、12的三角形的外心与重心之间的距离为

 

．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,三角形的重心

专题：计算题

分析：如图，AB=AC=10，BC=12，作AD⊥BC于D，则BD=CD=

1

2

BC=6，根据三角形外心与重心的定义可得到△ABC的外心O、重心G都在AD上，连结OB，设三角形的外接圆半径为r，根据外心的性质得OB=OA=r，接着利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，在Rt△ODB中得到（8-r）²+6²=r²，解得r=

25

4

，则OD=AD-OA=

7

4

，再根据重心的性质得到GD=

1

3

AD=

8

3

，所以OG=GD-OD=

11

12

．

解答：解：如图，AB=AC=10，BC=12，
作AD⊥BC于D，则BD=CD=

1

2

BC=6，所以△ABC的外心O、重心G都在AD上，
连结OB，设三角形的外接圆半径为r，则OB=OA=r，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=8，
在Rt△ODB中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（8-r）²+6²=r²，解得r=

25

4

，
∴OD=AD-OA=8-

25

4

=

7

4

，
∵点G为△ABC的重心，
∴GD=

1

3

AD=

8

3

，
∴OG=GD-OD=

8

3

-

7

4

=

11

12

，
即三角形的外心与重心之间的距离为

11

12

．
故答案为

11

12

．

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．也考查了三角形重心的性质（三角形重心把三角形中线三等份）．