Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（　　）

• A． 5
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{10}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设BE=x，则EC=6-x，由△EBF∽△DCE，得$\frac{BF}{EC}$=$\frac{BE}{DC}$，列出方程求出x，即可解决问题．

解答 解：设BE=x，则EC=6-x，
∵EF⊥ED，
∴∠FED=90°，
∴∠FEB+∠DEC=90°，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠FEB=∠EDC，∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△DCE，
∴$\frac{BF}{EC}$=$\frac{BE}{DC}$，
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{4}$，解得x=2或4（舍弃），
当x=2时，EF=2$\sqrt{2}$，DE=4$\sqrt{2}$，DF=$\sqrt{E{F}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴AM=ME=$\sqrt{10}$，
∵AM⊥ME，
∴∠AME=90°，
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．