Question

2．如图，在线段BD上取一点C，以BC，CD为边分别作正三角形ABC和正三角形ECD，连结AD，交EC于点Q，连结BE，交AC于点P，交AD于点F．
（1）通过旋转，图中可得到哪些全等三角形？
（2）求∠BFD的度数；
（3）PQ与BD平行吗？若平行，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过旋转，图中可得到△ACD≌△BCE，△BPC≌△AQC，△PCE≌△QCD；
（2）根据∠BFD=∠BED+∠ADE，又∠BEC=∠ADC，可得∠BFD=∠CED+∠CDE=120°；
（3）由△BPC≌△AQC，得到CP=CQ，根据∠PCQ=60°，所以△PCQ为正三角形，进而得到∠APQ=∠ACQ+∠CQP=120°，又由∠ACD=∠ACQ+∠ECD=120°，所以∠APQ=∠ACD，即可得到PQ‖CD．

解答 解：（1）通过旋转，图中可得到△ACD≌△BCE，△BPC≌△AQC，△PCE≌△QCD；
（2）∵∠BFD=∠BED+∠ADE，又∠BEC=∠ADC，
∴∠BFD=∠CED+∠CDE=120°；
（3）∵△BPC≌△AQC，
∴CP=CQ，
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为正三角形，
∴∠APQ=∠ACQ+∠CQP=120°，
∵∠ACD=∠ACQ+∠ECD=120°，
∴∠APQ=∠ACD，
∴PQ‖CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，利用全等三角形得到相等的边．