Question

14．如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点（不与A、B重合），且AP=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．
（1）若AP=2，求线段PO的长度；
（2）设△POQ的面积为y，AP=x，求y与x的函数关系式，并直接写出△POQ的面积的最大值；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求线段AP的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠PAO=∠B，∠AOP=∠BAC，于是得到△AOP∽△BAC，即可得到$\frac{OP}{AC}=\frac{AP}{BC}$，于是结论可得；
（2）由（1）可知：△AOP∽△BAC，由已知条件AP=x，得到OP=$\frac{6x}{5}$．如图，过Q作QF⊥PE于F，过B作BG⊥AC于G，则AG=CG=$\frac{1}{2}$AC=3，得到OQ=5-2x由于sin∠QOF=sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，于是得到$\frac{QF}{OQ}=\frac{4}{5}$，求出QF=$\frac{4}{5}$（5-2x），即可得到结论；
（3）根据AP=AO=BQ，得到AQ=BO=BE，证得△APQ≌△BQE，得到PQ=QE，根据等腰三角形的性质得到OQ=OP，列方程即可求得结果．

解答 解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴∠PAO=∠B，∠AOP=∠BAC，
∴△AOP∽△BAC，
∴$\frac{OP}{AC}=\frac{AP}{BC}$，
∵AC=6，BC=5，AP=2，
∴OP=$\frac{12}{5}$；

（2）由（1）可知：△AOP∽△BAC，
∵AP=x，
∴OP=$\frac{6x}{5}$．
如图，过Q作QF⊥PE于F，过B作BG⊥AC于G，则AG=CG=$\frac{1}{2}$AC=3，
∵AB=5，
∴BG=4，
∵AP=BQ=AO=x，
∴OQ=5-2x
∵sin∠QOF=sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QF}{OQ}=\frac{4}{5}$，
∴QF=$\frac{4}{5}$（5-2x），
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{6x}{5}$×$\frac{4}{5}$（5-2x）=$\frac{12}{5}x-\frac{24}{25}{x}^{2}$（0＜x≤2.5），
当x=$\frac{5}{4}$时，△POQ的面积有最大值$\frac{3}{2}$；

（3）∵AP=AO=BQ，
∴AQ=BO=BE，
∵∠PAO=∠QBE，
在△APQ与△BQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠PAO=∠QBE}\\{AQ=BE}\end{array}\right.$，
∴△APQ≌△BQE，
∴PQ=QE，
∴∠QPE=∠QEP，
∵△POQ∽△PQE，
∴∠QEP=∠PQO，
∴∠QPE=∠PQO，
∴OQ=OP，
∴5-2x=$\frac{6x}{5}$，
∴x=$\frac{25}{16}$，
∴AP的长为$\frac{25}{16}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的综合知识，根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系．