Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点出发沿AB边  向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，在两个点运动过程中，请回答：
（1）经过多少时间，△PBQ的面积是5cm²？
（2）请你利用配方法，求出经过多少时间，四边形APQC面积最小？并求出这个最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,二次函数的最值

专题：几何动点问题

分析：（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据四边形APQC面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，求出表示四边形APQC面积的式子，再配方，然后根据二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）根据三角形的面积公式，得

1

2

PB•BQ=5，

1

2

（6-t）•2t=5，
t²-6t+5=0，
解得t₁=1，t₂=5（舍去），
所以t=1．
故经过1秒，能使△PBQ的面积等于5cm²；

（2）∵S四边形APQC=24-

1

2

(6-t0)•2t0=t02-6t0+24=(t0-3)2+15，
∴当t₀=3时，S_{四边形APQC}的最小值为15．

点评：考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解．同时考查了二次函数的性质．