Question

6．小明的父亲下岗后，打算利用自己的技术特长和本地资源开一个副食品加工店，经测算，当日产量在100千克至250千克时，日生产总成本y（元）可近似地看成日产量x（千克）的二次函数，当日产量为100千克时，日总成本为2000元；当日产量为150千克时，日总成本最低，最低为1750元，又知产品现在的售价为每千克16元，
（1）把日生产总成本y（元）写成日产量x（千克）的函数；
（2）将y÷x称为平均成本，问日产量为多少千克时，平均成本最低？
（3）当日产量为多大时，才能保证加工厂不亏本？
（结果精确到个位，参考数值：$\sqrt{1.29}$≈1.1，$\sqrt{12.9}$≈3.6）

Answer 1

分析 （1）设总成本y与x的函数关系式为y=m（x-a）²+b，由题干条件求出m、a、b即可；
（2）根据题意得：y÷x=$\frac{1}{10}$x-30+$\frac{4000}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{10}x•\frac{4000}{x}}$-30，当$\frac{1}{10}$x=$\frac{4000}{x}$时，等号成立，即可得到结论；
（3）根据题意得到不等式$\frac{1}{10}$²-30x+4000≤16x求得230-10$\sqrt{129}$≤x≤230±10$\sqrt{129}$，于是得到120≤x≤340．

解答 解：（1）设总成本y与x的函数关系式为y=m（x-a）²+b，
由当日产量为100千克时，日总成本为2 000元；
当日产量为150千克时，日总成本最低，最低为1 750元，
故知a=150，b=1750，m=0.1，
∴总成本y与x的函数关系式y=0.1（x-150）²+1750；

（2）y÷x=$\frac{1}{10}$x-30+$\frac{4000}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{10}x•\frac{4000}{x}}$-30，
当$\frac{1}{10}$x=$\frac{4000}{x}$时，等号成立，
∴x=200；

（3）y≤16x，即，$\frac{1}{10}$²-30x+4000≤16x，
∴$\frac{1}{10}$x²-46x+4000≤0，
∴230-10$\sqrt{129}$≤x≤230±10$\sqrt{129}$，∴120≤x≤340，
∴日产量为120≤x≤340时，才能保证加工厂不亏本．

点评 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．