Question

6．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC=90°，如图2所示：
①求证：∠ADO=∠BCO；
②若∠EOD=15°，求∠OCD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可；
（2）①过O作ON∥BC交DC于N，根据矩形的判定得出四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，求出N为DC的中点，ON⊥DC，根据线段垂直平分线性质得出OD=OC，即可得出答案；
②根据正方形的判定得出四边形ABFE是正方形，根据正方形的性质得出∠AEB=45°，根据三角形外角性质求出∠ADO=30°，求出∠ODC即可．

解答 证明：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；

（2）①过O作ON∥BC交DC于N，

∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，
∴AD∥ON∥BC，
∵O为BE的中点，
∴N为DC的中点，ON⊥DC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADO=∠BCO；

②解：∵四边形ABFE是平行四边形，AB=AE，∠ABC=90°，
∴四边形ABFE是正方形，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$∠AEF=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠EOD=15°，
∴∠EDO=∠AEB-∠EOD=45°-15°=30°，
∴∠ODC=∠ADC-∠EDO=90°-30°=60°，
∵∠OCD=∠ODC，
∴∠OCD=60°．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．