Question

2．二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（-8，0），B（2，0），y轴交于点C，∠ACB=90°．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先求得对称轴，然后代入函数解析式求得顶点坐标．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB=8×2=16，
则OC=4，即C的坐标是（0，4）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
则二次函数的解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4；
（2）对称轴是x=$\frac{-8+2}{2}$=-3，
把x=-3代入解析式得y=$\frac{25}{4}$，
则顶点的坐标是（-3，$\frac{25}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点与一元二次方程的解之间的关系，一元二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）的解就是函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标．