如图.AB=AC=10cm.BC=8cm.点D为AB的中点.点P在线段BC上以3cm/秒的速度由点B向点C运动.同时.点Q在线段CA上由C点向A点运动．(1)若点Q的速度与点P的速度相等.1秒钟时.△BPD与△CQP是否全等?请给出解释并说明,(2)点Q的速度与点P的速度不相等.当点Q的运动速度为多少时.能够使△BPD≌△CPQ,中的速度从点C出发.点P以原来运动速度从点B同时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的速度与点P的速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等？请给出解释并说明；
（2）点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的其中一条边上相遇．

分析（1）求出BP、CQ、CP，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）设当点Q的运动速度为xcm/秒，时间是t秒，能够使△BPD与△CQP全等，求出BD=5cm，BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可；
（3）两点相遇时，路程差为10+10，即可求出时间t的值．

解答解：（1）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，
理由是：∵AB=AC=10cm，点D为AB的中点，
∴∠B=∠C，BD=5cm，
∵BP=CQ=3tcm=3cm，
∴CP=8cm-3cm=5cm=BD，
在△DBP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（2）设当点Q的运动速度为xcm/秒，时间是t秒，能够使△BPD与△CQP全等，
求出BD=5cm，BP=3tcm，CP=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∠B=∠C，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，
即①3t=xt，5=8-3t，
解得：x=3（不合题意，舍去），
②3t=8-3t，5=xt，
解得：x=$\frac{15}{4}$，
即当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/秒时，能够使△BPD与△CQP全等；

（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得$\frac{15}{4}$x=3x+2×10，
解得x=$\frac{80}{3}$．
∴点P共运动了$\frac{80}{3}$×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84-80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过$\frac{80}{3}$s点P与点Q第一次在边AB上相遇．