Question

10．如图，矩形ABCD的面积为1cm²，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC₁B，对角线交于点O₁；以AB、AO₁为邻边作平行四边形AO₁C₂B…；依此类推，则平行四边形AO₂₀₁₄C₂₀₁₅B的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{{{2^{2013}}}}$
• B． $\frac{1}{{{2^{2014}}}}$
• C． $\frac{1}{{{2^{2015}}}}$
• D． $\frac{1}{{{2^{2016}}}}$

Answer 1

分析 根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的$\frac{1}{2}$，然后求解即可．

解答 解：∵O₁为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC₁B底边AB上的高等于BC的$\frac{1}{2}$，
∴平行四边形AOC₁B的面积=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∵平行四边形AO₁C₂B的对角线交于点O₂，
∴平行四边形AOC₂B的边AB上的高等于平行四边形AOC₁B底边AB上的高的$\frac{1}{2}$，
∴平行四边形ABC₃O₂的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
…，
依此类推，平行四边形ABC₂₀₁₄O₂₀₁₅的面积=$\frac{1}{{2}^{2015}}$cm²．
故选：C．

点评 此题主要考查了学生矩形和平行四边形的有关知识，要求考生具备有从特殊到一般的数学思考方法和有较强的归纳探究能力，才能正确地作出解答．