Question

16．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的解析式为y₂=k₂x+b，当y₁＞y₂时，x的取值范围是（　　）

• A． -5＜x＜1
• B． 0＜x＜1或x＜-5
• C． -6＜x＜1
• D． 0＜x＜1或x＜-6

Answer 1

分析 由△AOB是等腰三角形，先求的点B的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和直线的解析式，然后将将y₁=$\frac{3}{x}$与y₂=$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$联立，求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出x的取值范围．

解答 解：如图所示：

∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠3+∠2=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵点A的坐标为（-3，1），
∴点B的坐标（1，3）．
将B（1，3）代入反比例函数的解析式得：3=$\frac{k}{1}$，
∴k=3．
∴y₁=$\frac{3}{x}$
将A（-3，1），B（1，3）代入直线AB的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-3{k}_{2}+b=1}\\{{k}_{2}+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y₂=$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$．
将y₁=$\frac{3}{x}$与y₂=$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$联立得；$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{x}_{2}=-6}\end{array}\right.$，
当y₁＞y₂时，双曲线位于直线线的上方，
∴x的取值范围是：x＜-6或0＜x＜1．
故选：D．

点评 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点的横坐标是解题的关键，同时本题还考查了函数与不等式的关系：从函数的角度看，y₁＞y₂就是双曲线y₁=$\frac{3}{x}$位于直线y₂=$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$上方部分所有点的横坐标的集合；从不等式的角度来看y₁＞y₂就是求不等式$\frac{3}{x}$＞$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$的解集．