题目内容

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB 上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；②用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；
（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由．

【答案】分析：（1）①BG=2BP，根据等边三角形的性质求出∠BGP=30°，根据直角三角形的性质即可得出答案；②求出DG的长，当G和D重合时，求出x=，当G和D重合时求出x=1，即可得到答案；
（2）根据勾股定理求出QP，证△EDQ∽△BPQ得到=，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到=，求出DF，根据三角形的面积公式即可求出答案；
（3）求出∠FPE=30°，①当∠FEP=90°时，由EF∥AB，得出=，代入即可求出x；②当∠PFE=90°时，
由△BPF是等边三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根据等腰三角形的性质得到DF=DG，代入即可求出x．
解答：（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等边△ABC，PG⊥AB，
∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG与2BP的大小关系是BG=2BP．

②解：∵等边△ABC，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC=1，
∵BG=2BP=2x，
∴DG=BG-BD=2x-1，
当G和D重合时，2x=1，x=，
当G和D重合时2x=2，x=1，
∴自变量x的取值范围是≤x≤1，
答：线段DG的长是2x-1，自变量x的取值范围是≤x≤1．

（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP==x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴=，
∴=，
解得：DE=，
∵PF∥AC，
∴=，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=DE•DF=•（）•（1-x）=-x2+x-=-+，
s的最大值是，
答：S与x之间的函数关系式是∴s=-x2+x-，并求出S的最大值是．

（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①当∠FEP=90°时，
∴EF∥AB，
∴=，
∴=，
解得：x=，
②当∠PFE=90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=，
∴BP的长是或，
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是或．
点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．
练习册系列答案
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AOB
、
BOC
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A、
1
2
B、
1
3
C、
1
4
D、
1
6
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A、4
3
B、3
3
C、2
3
D、
3
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A、
5
3
3
cm
B、
10
3
3
cm
C、5
3
cm
D、10
3
cm
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3
a；
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3
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3
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