Question

（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b．
（1）求证：AE=b+

3

a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是关于x的方程：x²+

3

ax=b²+

3

ab的一个根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+

3

a；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b） ²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；
（3）由x²+

3

ax=b²+

3

ab，可得（x-b）（x+b+

3

a）=0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围．

解答：解：（1）连接BE，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AEB=30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∵BC=a，
∴BE=2a，CE=

3

a，
∵AC=b，
∴AE=b+

3

a；         

（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，
∴a²+b²=1，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CH，
∴AC•BC=AB•CH，
∴（a+b） ²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，
∴a+b≤

2

，
故a+b的最大值为

2

，

（3）∵x²+

3

ax=b²+

3

ab，
∴x²-b²+

3

ax-

3

ab=0，
∴（x+b）（x-b）+

3

a（x-b）=0，
∴（x-b）（x+b+

3

a）=0，
∴x=b或x=-（b+

3

a），
当m=b时，m=b=AC＜AB=1，
∴0＜m＜1，
当m=-（b+

3

a）时，由（1）知AE=-m，
又∵AB＜AE≤2AO=2，
∴1＜-m≤2，
∴-2≤m＜-1，
∴m的取值范围为0＜m＜1或-2≤m＜-1．

点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．