Question

如图，△ABC中，∠C=30°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，并且BC与⊙O相切，切点为B，
（1）求∠ADO的度数；
（2）若AB=4

5

，求线段CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）根据切线的性质得∠ABC=90°，再根据互余计算出∠A=90°-∠C=60°，然后利用OD=OA，根据等腰三角形的性质即可得到∠ADO=∠A=60°；
（2）先在Rt△ABC中根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2AB=8

5

，再由∠ADO=∠A=60°判断△ADO为等边三角形，则AD=AO=

1

2

AB=2

5

，然后利用CD=AC-AD进行计算．

解答：解：（1）∵BC与⊙O相切，切点为B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=∠A=60°；
（2）在Rt△ABC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AB=2×4

5

=8

5

，
∵∠ADO=∠A=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴AD=AO=

1

2

AB=2

5

，
∴CD=AC-AD=8

5

-2

5

=6

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．