Question

如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE，且BE=BC，∠EBC=45°，CF⊥BE于点F，O为AC的中点，AB=2．
（1）求OB的长；
（2）求证：DE+BF=BC．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接BD，先求得△ABE是等腰直角三角形，根据AB求得BC=BE=

2

AB=2

2

，然后根据勾股定理求得BD，进而求得OB的长．
（2）求得△BCE是等腰直角三角形，根据BC求得BF=

2

2

BC=2=AB=AE，即可求得结论．

解答：解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，
∴AC、BD交于O，
∴AC=BD，OB=

1

2

BD，
∵∠EBC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BC=BE=

2

AB=2

2

，
∴BD=

BC2+AB2

=

8+4

=2

3

，
∴OB=

1

2

BD=

3

．
（2）∵CF⊥BE，∠EBC=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BF=

2

2

BC=2
∵△ABE是等腰直角三角形，BE=BC
∴AB=AE=BF=2，
∴BF+DE=AE+DE=AD=BC．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定是本题的重点．